미분과 적분은 고등학교 수학시간에 처음 배우는 내용이지만 대학수학에서도 여전히 쓰이는 아주 중요한 개념입니다. 미분은 어떤 함수 f(x) 를 x축 방향으로 a만큼 움직이고 y축 방향으로 b만큼 움직인다고 했을 때, 이 움직임을 나타내는 기호이고, 적분은 넓이를 구하는 공식인 `루트` 와 비슷한 모양이에요. 즉, 일정한 시간동안 얼마나 많은 양의 일을 했는지 계산하기 위해 만들어진 도구라고 보시면 됩니다. 미적분학은 우리 일상생활과 밀접하게 연관되어있는데요, 대표적으로 금융시장에서는 주식가격 변동폭을 예측하는데 쓰이고, 항공우주공학에서는 로켓발사시 속도를 결정하며, 자동차나 선박 설계 등 다양한 분야에서 활용되고있어요. 그렇다면 이제 본격적으로 미분과 적분에 대해 알아볼까요?
미분과 적분은 어떻게 다른가요?
미분과 적분은 서로 상반되는 개념이기 때문에 각각 따로 배우지만 결국 같은 결과를 도출해야 해요. 그래서 두 가지 모두 정의역과 공역이 실수 전체 집합이라는 점 빼고는 공통점이 없어요. 하지만 차이점으로는 먼저 변수의 개수가 달라요. 미분은 변수가 한 개고 적분은 변수가 여러 개라는 점이죠. 또한 미분은 순간변화율을 구하고 적분은 넓이를 구한다는 점도 다릅니다.
미분이란 무엇인가요?
미분은 ‘나누다’ 라는 뜻을 가진 한자어 分割 (분할할 분, 나눌 할) 에서 파생된 말로써, 변화량을 잘게 쪼개어서 분석하는 것을 의미해요. 예를 들어 설명하자면, 2차함수 그래프 위의 임의의 점 P에서의 접선의 기울기를 구할 때, 주어진 곡선 상에서 기울기가 1/2 인 직선을 그려보면 쉽게 알 수 있어요. 이렇게 구한 직선의 기울기를 tanθ 라고 하고, 이를 미분하면 cosθ 가 되는데, 이것이 바로 접선의 기울기랍니다.
적분이란 무엇인가요?
적분은 영어로 integral 이라고 하는데, 원래는 그리스어 en·tri·gal 로 “전체” 또는 “총계” 라는 뜻을 가지고 있어요. 따라서 적분은 특정 구간 안의 모든 값들을 합해서 새로운 값을 만들어내는 과정이라 할 수 있어요. 예를 들어 직사각형의 가로 길이 l 과 세로 길이 h 의 면적 S = πr2 을 구해볼게요. 우선 직육면체의 부피 V 는 가로×세로×높이 이므로 다음과 같이 나타낼 수 있어요. 이때 높이 h 에 해당하는 부분을 제외한 나머지 부분만을 더하면 되므로 ∫hfd = 0 이라는 식을 얻을 수 있고, 정리하면 아래와 같아요. 마지막으로 앞에서 구한 식으로부터 정적분의 정의식을 유도할 수 있답니다.
지금까지 미분, 적분에 대해 알아보았는데요, 어떠셨나요? 조금 어려웠나요? 그렇지만 알고나면 실생활 곳곳에서 유용하게 쓰일 수 있으니 열심히 공부해보아요!